基于Matlab的信號平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)

0引言

信號的平穩(wěn)性檢驗(yàn)在隨機(jī)信號處理中起著十分基礎(chǔ)的作用。由于平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)信號的性質(zhì)差別顯著，因此在處理信號之前先行判斷它的平穩(wěn)性就顯得尤為重要。雖然信號平穩(wěn)性的定義十分明確，但是實(shí)際判斷過程卻是復(fù)雜的，例如觀察尺度對信號平穩(wěn)性判斷就有很大的影響。

這一領(lǐng)域的研究已經(jīng)取得了一定的成果。一些人提出了受限和帶參數(shù)的非平穩(wěn)性判定方法，而另一些人則將他們的平穩(wěn)性判定建立在對原始數(shù)據(jù)的一些假設(shè)上。而對于更一般信號的平穩(wěn)性檢驗(yàn)的研究還沒有取得太多成果。文獻(xiàn)[2，3]中又提到了這一問題，并且提出了一種新的檢驗(yàn)平穩(wěn)性框架。這一框架混合了時頻透視法和有名的替代數(shù)據(jù)法。它的基本思想是引入“可控噪聲”，即替代數(shù)據(jù)。并且由于替代數(shù)據(jù)的一些特性，它可以作為平穩(wěn)性的評判標(biāo)準(zhǔn)。本文參考了文獻(xiàn)[6]中的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法，設(shè)計(jì)了一個信號平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)，并在Matlab的GUI開發(fā)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了圖形用戶界面的設(shè)計(jì)。實(shí)踐表明，本系統(tǒng)不但提供了友好的用戶界面，并且可以方便地完成信號的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。

1平穩(wěn)性檢驗(yàn)原理

1.1平穩(wěn)性定義及其檢驗(yàn)的重要性

假設(shè)有一個高斯過程{x_l(t))(- ∞l(t)是樣本函數(shù)。令E為求取平均的符號，則：



為任意確定t時刻的全體平均。同時：



被稱為自相關(guān)函數(shù)(ACF)。

對于一個弱平穩(wěn)過程，它的μ_x(t)和r(t₁，t₂)都是時不變的或者說與時間無關(guān)的。因此有：




式中：τ=t₁-t₂被稱為時延。因此，對于平穩(wěn)高斯過程{x_l(t)}，它的自相關(guān)函數(shù)或者它的功率譜密度函數(shù)(PSD)為：


足以確定它的性質(zhì)。

另一方面，如果{x_l(t))是非平穩(wěn)的，它的μ_x(t)和r(t₁，t₂)就是時變的或者說和時間相關(guān)的。這樣它的PSD就應(yīng)該放在時頻域分析。

由此可見，平穩(wěn)性檢驗(yàn)是任何信號處理前必不可少的一步，它決定了后續(xù)處理可以使用何種方法。

1.2替代數(shù)據(jù)

替代數(shù)據(jù)的概念最初是由Theiler和其合作作者提出的，這種技術(shù)是用來產(chǎn)生一種所謂的“替代數(shù)據(jù)”，這種替代數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，同時保持了原數(shù)據(jù)的一些相關(guān)的統(tǒng)計(jì)特性。

Theiler在文獻(xiàn)[4]中提出了一種具體的產(chǎn)生替代數(shù)據(jù)的方法。由這種方法產(chǎn)生的替代數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，同時保持了原數(shù)據(jù)的二階統(tǒng)計(jì)特性。具體地說，替代數(shù)據(jù)保持了原數(shù)據(jù)功率譜的幅度值不變。

根據(jù)Wiener-Khintchin理論，信號的功率譜等于其傅里葉變換的幅值平方。因此保持信號的功率譜幅度值不變，就是保持其傅里葉變換的幅度值不變。因此，假設(shè)原數(shù)據(jù)為x(t)，它的傅里葉變換為

產(chǎn)生。其中，φf是在[-π，π]上均勻分布的隨機(jī)相位。這樣就保證了s(t)和x(t)有相同的傅里葉變換幅值。在下面的例子中也可以看到，這樣產(chǎn)生的s(t)也是平穩(wěn)的。

1.3時頻分布

時頻分布主要用于分析非平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜。由于非平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜是時變的，因此在原來功率譜的基礎(chǔ)上再引入時間軸，成為時頻分布(TFD)。TFD可以顯示出信號的功率譜隨時間的變化情況。

具體來說，根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的定義，信號x(t)的時頻分布Sx，K(t，f)可以表示為：



1.4平穩(wěn)性檢驗(yàn)

平穩(wěn)性可以體現(xiàn)在頻譜隨時間的波動上。具體來說，對于平穩(wěn)信號，其頻譜不隨時間變化；而對于非平穩(wěn)信號，其頻譜會隨時間改變。因此，可以通過比較不同時間點(diǎn)上頻譜的相似程度來判斷信號的平穩(wěn)性。

按照文獻(xiàn)[4]中的檢驗(yàn)方法，定義不同時間點(diǎn)上的頻譜與頻譜平均值的距離c_n^(x)為：


2用戶界面生成

2.1Matlab中用戶界面的生成

Matlab為用戶設(shè)計(jì)圖形界面提供了一個高效、方便的集成環(huán)境。在Matlab中，基本的圖形對象主要包括坐標(biāo)軸、控件、下拉菜單和內(nèi)容菜單。用戶可以通過這些對象設(shè)計(jì)出界面友好，功能強(qiáng)大，操作簡單的圖形用戶界面。圖形用戶界面的生成主要分為以下幾個步驟：

(1)規(guī)劃所設(shè)計(jì)的圖形用戶界面，主要包括：確定需要哪些窗口，每個窗口怎樣布局，窗口中的各個對象各有什么功能，對象之間如何配合工作，以及相應(yīng)的異常處理；

(2)在Matlab提示行下輸入GUIDE，載人用戶界面開發(fā)環(huán)境；

(3)利用Layout Editor，完成用戶面板以及界面的制作，并對相應(yīng)的按鈕及控件屬性進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑O(shè)置；

(4)在Programme Editot中編輯各個對象的回調(diào)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)各個對象韻具體功能；

(5)利用Mfile編譯器生成客戶端，完成隨機(jī)數(shù)據(jù)仿真系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

2.2用戶界面介紹

本文所實(shí)現(xiàn)的用戶界面主要包括兩個窗口，分別是主窗口和數(shù)據(jù)生成窗口。由于Matlab對保存繪圖區(qū)域有限制，因此設(shè)計(jì)時沒有在窗口中設(shè)置固定的繪圖區(qū)域。窗口只相當(dāng)于一個命令菜單，所有的繪圖將會以獨(dú)立窗口的形式根據(jù)用戶需求動態(tài)產(chǎn)生。這樣便于用戶對比和保存圖片。下面對主要窗口分別加以介紹。

2.2.1主窗口介紹

主窗口如圖1所示。主窗口主要用于繪制原數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)的各種波形以及顯示平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果。

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其中，“Create／Open Original Data”按鈕用來打開數(shù)據(jù)生成窗口。

“View／Change Parameters”按鈕用來查看或改變當(dāng)前仿真參數(shù)，它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。主要的仿真參數(shù)有：

“Time Scale of TFD”和“Frequency Scale of TFD”用于確定繪制TFD圖片時的時間／頻率軸采樣周期，由于計(jì)算和顯示時頻分布圖比較耗費(fèi)時間，將采樣周期設(shè)大，可以提高速度，但是相應(yīng)的時頻分布圖的分辨率會下降。

“Max Level of Hermite Function”用于確定求TFD時所使用Hermite函數(shù)的最高階數(shù)。最高階數(shù)越高，則分辨率越高，但是相應(yīng)的計(jì)算時間會加長。

“The Number of Surrogates”用于確定平穩(wěn)性檢驗(yàn)時所用的參考替代數(shù)據(jù)個數(shù)。個數(shù)越多，則檢驗(yàn)結(jié)果越精確，但是會極大地延長計(jì)算時間。

“Create Surrogate”按鈕用于產(chǎn)生替代數(shù)據(jù)，其在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。由于替代數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，因此用戶可以多次產(chǎn)生不同的替代數(shù)據(jù)，觀察它們的性質(zhì)。

右上方的下拉菜單用于選擇需要繪圖或者保存數(shù)據(jù)的對象，主要包括原始數(shù)據(jù)的時域、頻域和時頻域圖，替代數(shù)據(jù)的時域、頻域和時頻域圖，以及替代數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度分布。它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。

“Show Selected Plot”按鈕用于在新窗口中繪制下拉菜單所選圖線，它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。

“Save Selected Data”按鈕用于保存下拉菜單所選圖線對應(yīng)的數(shù)據(jù)，它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。

2.2.2數(shù)據(jù)生成窗口

數(shù)據(jù)生成窗口如圖2所示。數(shù)據(jù)生成窗口主要用來產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)用數(shù)據(jù)或者打開已經(jīng)存在的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。



“Creat Original Data”按鈕用來產(chǎn)生測試用數(shù)據(jù)。按下此按鈕后會提示輸入產(chǎn)生數(shù)據(jù)用的參數(shù)。由于數(shù)據(jù)是通過公式：



產(chǎn)生的調(diào)頻信號，因此需要確定參數(shù)P₁和P₂，另外還要確定t的區(qū)間和采樣周期。數(shù)據(jù)成功產(chǎn)生后會在新建窗口中顯示該數(shù)據(jù)時域波形。如果當(dāng)前存在數(shù)據(jù)波形，將會覆蓋它。

“Open Original Data”按鈕用來打開已經(jīng)存在的數(shù)據(jù)文件。選擇好文件后會提示輸人參數(shù)。主要包括讀人數(shù)據(jù)的時間起點(diǎn)、時間采樣周期和數(shù)據(jù)長度。數(shù)據(jù)成功讀入后會在新建窗口中顯示該數(shù)據(jù)時域波形。如果當(dāng)前存在數(shù)據(jù)波形，將會覆蓋它。

“Confirm”按鈕用于確認(rèn)新建窗口顯示的數(shù)據(jù)就是用戶想要的數(shù)據(jù)，并返回主窗口。它在創(chuàng)建或打開的數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。

3數(shù)據(jù)仿真和分析

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取為調(diào)頻信號x(t)=sin(sin(t／8)πt)。t起始為0，采樣周期為0.1 s，數(shù)據(jù)長度為400個點(diǎn)，其時域波形和頻域波形如圖3所示。
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由式(6)產(chǎn)生的替代數(shù)據(jù)s(t)的時域波形和頻域波形如圖4所示。



由圖3和圖4不難看出，替代數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的傅里葉變換幅值相同，但替代數(shù)據(jù)傅里葉變換的相位是隨機(jī)的。

圖5顯示了由式(7)計(jì)算得到的原數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)的時頻分布圖。由圖5中可見，原數(shù)據(jù)的時頻分布圖有明顯的結(jié)構(gòu)性。它表明是非平穩(wěn)的，而替代數(shù)據(jù)的時頻分布圖的結(jié)構(gòu)性較原數(shù)據(jù)有明顯減弱，表明替代數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性增加。


由式(11)計(jì)算得到的₀的概率密度函數(shù)f(₀)如圖6所示，其中一共計(jì)算了1 000次替代數(shù)據(jù)。

由圖6可見，替代數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度主要分布在0.02附近。數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度落在0～0.04之間可以認(rèn)為是平穩(wěn)的，而在此之外可以認(rèn)為是非平穩(wěn)的。


由式(11)計(jì)算得到的₁=0.046。位于上述區(qū)間之外，因此判為非平穩(wěn)。這一結(jié)果也與圖5所示的結(jié)果相吻合。

4結(jié)語

利用替代數(shù)據(jù)法和時頻透視法，并采用Matlab的GUI開發(fā)環(huán)境，設(shè)計(jì)了一個信號平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)的用戶界面友好。利用該系統(tǒng)可以觀察信號及其替代數(shù)據(jù)的頻域和時頻域波形，檢驗(yàn)信號的平穩(wěn)性。