現(xiàn)有的雷達(dá)成像超分辨算法是基于目標(biāo)回波信號的二維正弦信號模型，所以模型誤差，特別是距離走動(dòng)誤差，將使算法性能嚴(yán)重下降或失效.為此，本文采用距離走動(dòng)誤差下的一階近似雷達(dá)成像二維信號模型，提出了一種基于非線性最小二乘準(zhǔn)則的參數(shù)化超分辨算法.在算法中，距離走動(dòng)誤差補(bǔ)償與目標(biāo)參量估計(jì)聯(lián)合進(jìn)行.文中同時(shí)給出了算法估計(jì)性能的Cramer-Rao界及仿真結(jié)果.

關(guān)鍵詞:距離走動(dòng)誤差;補(bǔ)償;超分辨;雷達(dá)成像

A Super Resolution Radar Imaging Algorithm Based on the 2-D Approximate Model

SUN Chang-yin,BAO Zheng

(Kay Laboratory for Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071,China)

Abstract:The recently proposed super resolution radar imaging algorithms,which are based on the 2-D sinusoid signal model,often suffer from the motion through resolution cell error(MTRC) and failed completely.In this paper,an algorithm is proposed based on the 2-D approximate radar imaging model.By minimizing a nonlinear least-squares cost function,the algorithm combines the parameter estimation with the compensation of MTRC errors.The Cramer-Rao bounds are derived and simulation results are also presented to demonstrate the performance of the algorithm.

Key words:motion through resolution cell error;compensation;super resolution;radar imaging

一、引　　言

雷達(dá)成像基于目標(biāo)的散射點(diǎn)模型.雷達(dá)通常發(fā)射長時(shí)寬的線頻調(diào)(chirp)信號，然后用參考信號對回波作解線頻調(diào)(dechirp)處理，再將解線頻調(diào)的回波作橫向排列，則在一定條件下它可近似為二維正弦信號模型，通過二維傅里葉變換，可以重構(gòu)目標(biāo)的二維像;采用超分辨算法[1～3]，還可得到更精細(xì)的二維目標(biāo)像.

應(yīng)當(dāng)指出，上述二維模型是假設(shè)散射點(diǎn)在成像期間不發(fā)生超越分辨單元走動(dòng)，近似認(rèn)為散射點(diǎn)的移動(dòng)只影響回波的相移，而子回波包絡(luò)則固定不變.這種近似，只適用于小觀察角時(shí)參考點(diǎn)附近有限小尺寸目標(biāo)成像.

如果目標(biāo)較大，特別是在離參考點(diǎn)較遠(yuǎn)處，越分辨單元移動(dòng)(MTRC)便會(huì)發(fā)生，從而使得用簡單二維模型獲得的圖像模糊.傳統(tǒng)解決的方法是按目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)用極坐標(biāo)-直角坐標(biāo)插值.插值不可避免地會(huì)有誤差，而超分辨算法通?；趨?shù)化估計(jì)，對誤差較為敏感，這會(huì)影響成像質(zhì)量.

本文介紹一種近似度較高的二維模型，并利用該模型通過超分辨算法成像，可獲得較好的結(jié)果.

二、維回波模型

設(shè)目標(biāo)有K個(gè)散射點(diǎn)，雷達(dá)以平面波自下向上照射目標(biāo)(圖1).目標(biāo)以參考點(diǎn)為原點(diǎn)相對雷達(dá)射線轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過N次脈沖發(fā)射，散射點(diǎn)Pk點(diǎn)移至P′k點(diǎn)，移動(dòng)中第n次脈沖時(shí)該散射點(diǎn)的垂直坐標(biāo)為：

ykn=yk+Δykn=xksin(nδθ)+ykcos(nδθ),n=0,1,…,N-1　(1)

式中δθ為相鄰脈沖的轉(zhuǎn)角，總觀測角Δθ=(N-1)δθ.考慮到雷達(dá)發(fā)射的是長時(shí)寬的線頻調(diào)信號，以原點(diǎn)為參考作解線頻調(diào)處理，并對信號以 的頻率采樣，得目標(biāo)的回波信號(離散形式)為：

 

　(2)

 

式中Ak為第k個(gè)散射點(diǎn)子回波信號的復(fù)振幅;fc、γ分別是雷達(dá)載頻和調(diào)頻率，c為光速;e(m,n)為加性噪聲.

 

 

圖1　二維雷達(dá)目標(biāo)幾何圖

由于觀測角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，則式(2)可近似寫成:

 

　(3)

 

式中

 

式(3)指數(shù)項(xiàng)中的第三項(xiàng)是時(shí)頻耦合項(xiàng)，它是線頻調(diào)信號(其模糊函數(shù)為斜橢圓)所特有的，如果采用窄脈沖發(fā)射，則該項(xiàng)不存在.將該項(xiàng)忽略，則式(3)成為常用的回波二維正弦信號模型.

實(shí)際上，式(3)的第三項(xiàng)系“距離移動(dòng)”項(xiàng)，它與散射點(diǎn)的橫坐標(biāo)xk成正比，目標(biāo)區(qū)域大時(shí)必須考慮，而且這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，散射點(diǎn)的多普勒移動(dòng)也必須考慮.為此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，則式(2)較精確的近似式可寫成：

 

 

式(4)與式(3)相比較，指數(shù)中增加了兩項(xiàng)，其中前一項(xiàng)是“多普勒移動(dòng)”項(xiàng)，縱坐標(biāo)yk越大，影響也越大，這可以補(bǔ)充式(3)之不足;而后項(xiàng)是時(shí)頻耦合的多普勒移動(dòng)項(xiàng)，由于Mγ/Fs<

 

　(5)

 

需要指出，每個(gè)散射點(diǎn)的參數(shù)之間存在下述關(guān)系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和

k/vk=fcFs/γδθ.由于雷達(dá)參數(shù)(fc,γ,Fs)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)(δθ)均已知，所以待估計(jì)的五個(gè)參數(shù)中只有三個(gè)是獨(dú)立的.本文假設(shè)五個(gè)參數(shù)是獨(dú)立的，而在成像計(jì)算中已考慮參數(shù)之間的關(guān)系.

 

設(shè){ξk}Kk=1≡{αk,ωk,

k,μk,vk}Kk=1，現(xiàn)在我們要從y(m,n)中估計(jì)參量{ξk}Kk=1.

 

三、二維推廣的RELAX算法

對于(5)式所示的信號模型，令：

Y=[y(m,n)]M×N

則

　(6)

 

式中

 

 

設(shè)ξk估計(jì)值為

，則ξk的估計(jì)問題可通過優(yōu)化下述代價(jià)函數(shù)解決：

 

 

　(7)

 

式中‖.‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)，⊙表示矩陣的Hadamard積.

上式中C1的最優(yōu)化是一個(gè)多維空間的尋優(yōu)問題，十分復(fù)雜.本文將RELAX[3]算法推廣以求解.為此，首先做以下準(zhǔn)備工作，令：

 

　(8)

 

即假定{

i}i=1,2,…,K,i≠k已經(jīng)求出，則式(7)C1的極小化等效于下式的極小化：

 

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(

k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

 

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)

由于Pk為酉矩陣，矩陣Dk的每個(gè)元素的模|Dk(m,n)|=1,顯然矩陣Yk與Zk的F范數(shù)相同，故C2的極小化等效于下式的極小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(

k)‖2F　(11)

 

對上式關(guān)于αk求極小值就獲得αk的估計(jì)值

k：

 

 

k=aHM(ωk)Zkb*N(

k)/(MN)　(12)
 

 

2.SAR成像模擬

雷達(dá)參數(shù)為：中心頻率f0=24.24GHz,調(diào)頻率γ=33.357×1011Hz/s,帶寬B=133.5MHz,脈沖寬度tp=40μs.四個(gè)點(diǎn)目標(biāo)作正方形放置，間隔50米，左下角的點(diǎn)作為參考點(diǎn).雷達(dá)與目標(biāo)間隔1公里，觀察角Δθ=3.15，數(shù)據(jù)長度為128×128.采用FFT成像方法時(shí)，其縱向和橫向距離分辨率為ρr=ρa=1.123米，防止MTRC現(xiàn)象發(fā)生所需的目標(biāo)最大范圍為[4]：縱向尺寸Dr<4ρ2r/λ=40米，橫向尺寸Da<4ρ2a/λ=40米.采用常規(guī)超分辨方法時(shí)，目標(biāo)尺寸Dr=Da>10米則出現(xiàn)明顯的性能下降.圖2、圖3分別給出了RELAX方法及本文推廣的RELAX(Extended RELAX)算法的成像結(jié)果.可以看出，由于目標(biāo)遠(yuǎn)離參考中心，已在橫向和縱向出現(xiàn)距離走動(dòng)，采用常規(guī)超分辨的RELAX算法產(chǎn)生圖像模糊，對于本文算法，則得到基本正確的成像結(jié)果.圖4和圖5則比較了RELAX算法和推廣的RELAX算法的散射點(diǎn)強(qiáng)度估計(jì)結(jié)果，可以看到，RELAX算法由于距離走動(dòng)影響，散射點(diǎn)(除參考點(diǎn)以外)的強(qiáng)度降低.對于本文算法，散射點(diǎn)強(qiáng)度接近真實(shí)值.

 

　　　　　　　　　　

 

圖2　距離走動(dòng)誤差下的RELAX成像結(jié)果圖3　距離走動(dòng)誤差下的

 

　　　　　　　　　　　

 

圖4　RELAX方法估計(jì)的信號強(qiáng)度推廣RELAX成像結(jié)果圖5　推廣RELAX方法估計(jì)的信號強(qiáng)度

五、結(jié)束語

現(xiàn)有的雷達(dá)成像超分辨算法是基于目標(biāo)回波信號的二維正弦信號模型，所以僅適用于目標(biāo)位于參考點(diǎn)附近很小區(qū)域時(shí)的情形.當(dāng)目標(biāo)遠(yuǎn)離參考點(diǎn)時(shí)，模型誤差，特別是距離走動(dòng)誤差，將使算法性能嚴(yán)重下降或失效.為此，本文提出一種基于雷達(dá)成像近似二維模型的超分辨算法,從而擴(kuò)大了超分辨算法的適用范圍.本文進(jìn)一步的工作包括SAR實(shí)測數(shù)據(jù)成像及ISAR機(jī)動(dòng)目標(biāo)成像，結(jié)果將另文報(bào)道.

附 錄：參數(shù)估計(jì)的C-R界

下面我們給出式(5)所示的二維信號參量估計(jì)的C-R界表達(dá)式.同時(shí)假設(shè)式(5)中加性噪聲為零均值高斯色噪聲，其協(xié)方差矩陣未知.令：

y=vec(Y)　(A.1)

e=vec(E)　(A.2)

dk=vec(Dk)　(A.3)

式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)為矩陣X的列向量.我們將式(5)改寫為如下向量形式：

 

　(A.4)

 

式中

表示Kronecker積,Ω=[{[P1bN(

1)]

aM(ω1)}⊙d1…{[PkbN(

K)]

aM(ωK)}⊙dK],α=(α1，α2，…，αK)T.

 

令Q=E(eeH)為e的協(xié)方差矩陣，則對于由式(A.4)所示的二維信號模型，其Fisher信息陣(FIM)的第ij個(gè)元素推廣的Slepian-Bangs公式為[5,6]:

(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re[(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j]　(A.5)

式中X′i表示矩陣X對第i個(gè)參數(shù)求導(dǎo)，tr(X)為矩陣的跡，Re(X)為矩陣的實(shí)部.由于Q與Ωα中的參量無關(guān)，而Ωα亦與Q的元素?zé)o關(guān)，顯然FIM為一塊對角陣.所以待估計(jì)參量的C-R界矩陣由(A.5)式的第二項(xiàng)得到.

令：η=([Re(α)]T[Im(α)]TωT

TμTvT)T　(A.6)

 

式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T,

=(

1，

2，…，

K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.

 

令：F=[Ω　jΩ　DωΘ　D

Θ　DμΘ　DvΘ]　(A.7)

 

式中矩陣Dω、D

、Dμ、Dv的第k列分別為：

[{[PkbN(

k)]

aM(ωk)}⊙dk]/

ωk、

[{[PkbN(

k)]

aM(ωk)}⊙dk]/

k、

[{[PkbN(

k)]

aM(ωk)}⊙dk]/

μk、

[{[PkbN(

k)]

aM(ωk)}⊙dk]/

vk，Θ=diag{α1　α2　…　αK}.則關(guān)于參量向量η的CRB矩陣為

 

CRB(η)=[2Re(FHQ-1F)]-1　(A.8)