摘要：通過分析各種偽隨機(jī)序列生成方法，提出了一種基于M 序列的連續(xù)抽樣方法，可以生 成滿足自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)SPGD 控制算法要求的多路、相互獨(dú)立以及服從伯努利分布的偽隨機(jī)序 列。該方法適合于用FPGA 等超大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)，且具有占用硬件資源較少，實(shí)現(xiàn)方便等 優(yōu)點(diǎn)。用FPGA 實(shí)現(xiàn)了用于61 單元自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)SPGD 控制算法的偽隨機(jī)序列，并將此方 法應(yīng)用于基于SPGD 控制算法的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)表明，該方法能夠滿足自適應(yīng)光 學(xué)系統(tǒng)SPGD 算法的需求，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)成功閉環(huán)。

1 引 言

隨機(jī)序列是一組滿足特定統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律的數(shù)據(jù)，在信號(hào)理論分析中應(yīng)用非常普遍。由于 精確的隨機(jī)序列生成方法較為復(fù)雜，產(chǎn)生的隨機(jī)序列不具有可重復(fù)性等特點(diǎn)，在很多應(yīng)用 場(chǎng)合使用偽隨機(jī)序列。偽隨機(jī)序列在擴(kuò)頻通信、信息加密和系統(tǒng)測(cè)試等諸多領(lǐng)域中都有著 廣泛的應(yīng)用。在自適應(yīng)光學(xué)SPGD 算法中，偽隨機(jī)序列亦有相當(dāng)重要的作用。

Vorontsov 等人在1997 年將SPGD 算法引入到自適應(yīng)光學(xué)領(lǐng)域[2]。國(guó)內(nèi)在近幾年開始了對(duì) SPGD 算法在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)應(yīng)用的研究，并且在計(jì)算機(jī)上用軟件編程實(shí)現(xiàn)了算法，進(jìn)行 了自適應(yīng)光學(xué)的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)[3]。自適應(yīng)光學(xué)SPGD 控制算法的研究趨勢(shì)是使用專用的信號(hào)處 理硬件電路作為算法的實(shí)現(xiàn)平臺(tái)，以獲得更高的迭代速度和更好的收斂效果。Cauwenberghs等人設(shè)計(jì)了專用的模擬超大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)SPGD 控制算法，并且在一些應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行 了實(shí)驗(yàn)[5]。目前自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的規(guī)模普遍達(dá)到幾十上百單元。針對(duì)多單元自適應(yīng)光學(xué)系 統(tǒng)SPGD 控制算法的特殊要求，本文提出了一種適合于用FPGA 硬件電路產(chǎn)生滿足算法要 求的多路偽隨機(jī)序列的生成方法，完成了FPGA 電路的硬件實(shí)現(xiàn)，并將其用于實(shí)現(xiàn)61 單 元自適應(yīng)光學(xué)SPGD 控制算法，同時(shí)進(jìn)行自適應(yīng)光學(xué)的閉環(huán)實(shí)驗(yàn)。

2 自適應(yīng)光學(xué) SPGD 控制算法對(duì)偽隨機(jī)序列的要求

SPGD(the Stochastic Parallel Gradient Descent algorithm)算法通過對(duì)多路的控制參數(shù)加 入隨機(jī)并行的擾動(dòng)，使用性能指標(biāo)測(cè)量值的變化量與控制參數(shù)的變化量進(jìn)行控制參數(shù)的梯 度估計(jì)，以迭代方式在梯度下降方向上進(jìn)行控制參數(shù)的搜索。在自適應(yīng)光學(xué)SPGD 算法中， 控制參數(shù)為變形鏡的控制電壓，隨機(jī)并行的擾動(dòng)通過多路偽隨機(jī)序列模擬。SPGD 算法中 隨機(jī)并行擾動(dòng)的特性，對(duì)偽隨機(jī)序列也提出了相應(yīng)的要求[5]：

(1) 路數(shù)多。路數(shù)等于變形鏡單元數(shù)(即變形鏡上驅(qū)動(dòng)單元的數(shù)目)。例如在一個(gè)61 單 元的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中，就需要產(chǎn)生61 路的偽隨機(jī)序列。

(2) 偽隨機(jī)序列兩兩相互獨(dú)立。相互獨(dú)立可避免變形鏡各驅(qū)動(dòng)單元間的相互耦合。

(3) 偽隨機(jī)序列符合伯努利分布，兩個(gè)樣本值出現(xiàn)的概率各為0.5。

3 硬件電路實(shí)現(xiàn)偽隨機(jī)序列的傳統(tǒng)方法

傳統(tǒng)的生成偽隨機(jī)序列的方法較多，如線性反饋移位寄存器法(LFSR，可產(chǎn)生M 序列)， 乘同余法，線性同余法，Gold 序列等[6],[7]。M 序列是一種常用的隨機(jī)序列，符合SPGD 算 法中單路隨機(jī)序列伯努利分布的要求。但使用M 序列作為SPGD 算法中多路隨機(jī)序列在實(shí) 現(xiàn)上存在難點(diǎn)：算法要求多路偽隨機(jī)序列，用多個(gè)不同的LFSR 結(jié)構(gòu)去生成多路的偽隨機(jī) 序列，需要耗費(fèi)大量的硬件資源，并且構(gòu)造多路不同的LFSR 結(jié)構(gòu)需耗費(fèi)巨大的工作量。

Gold 序列優(yōu)點(diǎn)在于只由兩個(gè)M 序列構(gòu)造，能夠節(jié)省資源；并且改變兩個(gè)M 序列模二 和的相對(duì)位置即可構(gòu)成多個(gè)Gold 序列，從而滿足SPGD 算法中多路偽隨機(jī)序列的要求。 但在實(shí)際工程中如何方便改變兩個(gè)M 序列的相對(duì)位置以產(chǎn)生多路的Gold 序列亦有難度。 同時(shí)，Gold 序列亦存在非平衡性問題，不完符合伯努利分布。

國(guó)外最早使用模擬超大規(guī)模集成電路(Analog VLSI)做出SPGD 控制算法的Vorontsov 等人設(shè)計(jì)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，其本質(zhì)也是LFSR 結(jié)構(gòu)，使用了抽頭的方法從而可以用一個(gè) LFSR 結(jié)構(gòu)同時(shí)產(chǎn)生19 路的偽隨機(jī)序列[8],[1]。這種方法的缺陷是如果偽隨機(jī)序列的路數(shù)序 列超過19 路后，則用這個(gè)電路結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各路偽隨機(jī)數(shù)之間不是完全相互獨(dú)立的。

4 連續(xù)抽樣生成多路偽隨機(jī)序列的方法

通過以上對(duì)M 序列，Gold 序列的分析，結(jié)合M 序列易于硬件實(shí)現(xiàn)，Gold 序列可生成 多路序列的優(yōu)點(diǎn)，以及基于時(shí)間抽樣的思想，設(shè)計(jì)了如圖1 所示硬件結(jié)構(gòu)的68 路偽隨機(jī) Gold 序列發(fā)生器。

圖中所示結(jié)構(gòu)包括兩個(gè)時(shí)鐘，兩個(gè)相同的線性反饋移位寄存器，N 進(jìn)制計(jì)數(shù)器，以及N 路偽隨機(jī)序列的存取單元。兩個(gè)時(shí)鐘有特殊的關(guān)系，即時(shí)鐘1 是時(shí)鐘2 的N 分頻。N 進(jìn) 制計(jì)數(shù)器的輸出作為N 路偽隨機(jī)序列存取單元的存儲(chǔ)地址。存取單元及地址譯碼器可視為 一個(gè)整體，在實(shí)現(xiàn)時(shí)使用深度為N，寬度為1bit 的雙端口RAM 代替（一個(gè)端口存數(shù)據(jù)， 另一個(gè)端口取數(shù)據(jù)）。此外，圖中的“＋”表示模二和。結(jié)構(gòu)中的N 值，為本原抽樣數(shù)， 即使用N 對(duì)M 序列抽樣后，可得到另一同周期的M 序列。

上述結(jié)構(gòu)產(chǎn)生多路Gold 序列的原理如下：

⑤ 將這 N 個(gè)不同相位的M2 序列與M1 序列模二和，生成N 個(gè)不同的Gold 序列。 該方法需要選定兩個(gè)可構(gòu)成Gold 序列的理想M 序列對(duì)，之后將能夠從一個(gè)M 序列抽 樣出另一M 序列的本原抽樣數(shù)N 預(yù)先計(jì)算出來。由于是預(yù)先計(jì)算，不需在硬件內(nèi)實(shí)現(xiàn)， 不占用硬件資源。因此該方法占用的資源較少，同時(shí)結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)也適合于用硬件描述語 言進(jìn)行設(shè)計(jì)。

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為驗(yàn)證上述偽隨機(jī)序列生成方法的可行性，在FPGA 內(nèi)對(duì)上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行了硬件設(shè)計(jì)， 并搭建了基于SPGD 控制算法的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)平臺(tái)。自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)如 下圖3 所示，主要由激光器和擴(kuò)束系統(tǒng)、傾斜鏡TM、變形鏡DM、CCD 相機(jī)、基于FPGA 的SPGD 算法控制處理器、數(shù)字到模擬轉(zhuǎn)換器DAC 和高壓放大器HVA 等組成。光源從激 光器發(fā)出后經(jīng)TM 和DM 反射至CCD 相機(jī)，相機(jī)將圖像數(shù)據(jù)傳輸給FPGA 板進(jìn)行算法迭 代，再輸出電壓至數(shù)模轉(zhuǎn)換，最后經(jīng)高壓放大后控制61 單元的變形鏡DM(驅(qū)動(dòng)器的排布 見圖(3)和傾斜鏡TM，完成閉環(huán)控制。

連 續(xù)抽樣法結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)： LFSR1 和LFSR2 對(duì)應(yīng)的本原多項(xiàng)式為：

本原抽樣數(shù)N 為68。該設(shè)計(jì)可產(chǎn)生68路，

周期為1023 的Gold 序列。該參數(shù)設(shè)計(jì)主要以實(shí)驗(yàn)為主，本原多項(xiàng)式1F (x)的選取原則是反饋少，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。本原抽樣數(shù)要比61 稍大，保證能產(chǎn)生足夠多的Gold 序列，如果過大亦會(huì)造成資源的浪費(fèi)。

SPGD 算法包括偽隨機(jī)序列發(fā)生器都在Xilinx 公司的VII3000 FPGA 內(nèi)實(shí)現(xiàn)。通過 ChipScope 在線邏輯分析儀記錄68 路Gold 序列，經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證這68 路Gold 滿足相互獨(dú)立 的要求。針對(duì)Gold 序列的非平衡性問題，根據(jù)序列的周期性及對(duì)偶性，實(shí)驗(yàn)運(yùn)用了一個(gè)簡(jiǎn) 單的方法加以解決：將偶數(shù)周期的兩個(gè)樣本值互相交換，即應(yīng)該輸出1 時(shí)輸出0，應(yīng)該輸 出0 時(shí)輸出1。因此每?jī)蓚€(gè)周期內(nèi)的兩個(gè)樣本值出現(xiàn)的概率各為0.5，只要序列發(fā)生的時(shí)間 足夠長(zhǎng)，長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)平均，其概率亦各為0.5。因此通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明連續(xù)抽樣方法能夠滿足 自適應(yīng)光學(xué)SPGD 算法的要求。

自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方面，以均值半徑作為本實(shí)驗(yàn)中SPGD 算法的性能指標(biāo)[4]，向極 小的方向進(jìn)行梯度搜索，性能指標(biāo)的收斂曲線如圖4(a)所示。在迭代1000 次后，曲線就已 接近極小值。圖4(b)和7(c)是進(jìn)行校正前后，CCD 相機(jī)中獲取的遠(yuǎn)場(chǎng)光斑的光強(qiáng)分布圖。 校正前的峰值為96，校正后的峰值為230，校正后的遠(yuǎn)場(chǎng)光斑接近艾里斑，結(jié)果說明使用 SPGD 算法對(duì)靜態(tài)的波前畸變達(dá)到了良好的效果，同時(shí)也驗(yàn)證了本方法所產(chǎn)生的偽隨機(jī)序 列能夠在實(shí)際的SPGD 控制算法中正常工作。

6 結(jié)論

利用FPGA硬件電路生成了61單元自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)SPGD控制算法要求的68路偽隨機(jī)序 列。開展了基于SPGD控制算法自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)能夠?qū)崟r(shí)閉環(huán)，結(jié)果表明了該方 法的實(shí)用性。同時(shí)，該方法除了滿足自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)SPGD控制算法的專用性外，也為生成 大量的、任意多路的偽隨機(jī)序列提供了一種通用的方法，在信號(hào)處理、信號(hào)加密等工程領(lǐng)域 也具有一定的實(shí)際意義。

本文作者創(chuàng)新點(diǎn)：針對(duì)自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的SPGD 控制算法對(duì)偽隨機(jī)序列的要求，分析 了兩種適合于硬件實(shí)現(xiàn)的偽隨機(jī)序列――M 序列及Gold 序列的特點(diǎn)，及直接用于SPGD 控制算法存在的問題。在M 序列抽樣方法的基礎(chǔ)上，提出了一種連續(xù)抽樣生成多路Gold 序列的方法。該方法在對(duì)時(shí)間未要求的基礎(chǔ)上，以時(shí)間來換取空間資源，減少了空間資源 的占用，只需要兩個(gè)LFSR 結(jié)構(gòu)，解決了生成大量LFSR 結(jié)構(gòu)的工作量問題，方便地實(shí)現(xiàn) 了SPGD 控制算法要求的多路、獨(dú)立偽隨機(jī)序列的生成，并提出了解決了Gold 序列非平 衡性問題的方法。