前言

在前面的文章《5G NR中的多載波波形》中，我們學習了多種NR波形，并且了解其設計的關鍵性能指標。我們知道在上行鏈路中，DFTS-OFDM依然適用，并且上下行也支持基于CP-OFDM的波形設計。

今天，我們將目光轉向5G NR信道編碼。了解什么是信道編碼，前向糾錯的基本限制，二進制輸入加性高斯白噪聲的前向糾錯方案以及衰落信道的編碼方案。

在5G NR信道編碼方案中，我們將重點集中于LPDC碼和Polar碼的編譯碼過程。由于LDPC碼和Polar碼的編譯碼涉及知識廣，從信息編碼理論、概率論到線性代數，并不是幾篇文章就能講清楚。后面如果有空余時間，單獨開專題進行講解。

首先，我們來回顧一下數字通信系統模型：

數字信號在傳輸過程中，由于各種原因，使得傳送的數字信號產生誤碼，從而在接收端出現信號失真的現象。

信道編碼可對數據碼流進行相應的處理，使得系統具有一定的糾錯能力和抗干擾能力，可極大避免碼流在傳輸過程中產生誤碼，從而提高數據傳輸效率，降低誤碼率。

前向糾錯(FEC)方案在每個數字通信系統中都扮演著重要的角色，因為它們提供了抗噪聲和其他信道不確定性(如不完善的信道狀態(tài)信息)的魯棒性。5G NR設想的使用案例范圍之廣(見《5G進行時|5G無線接入》)使得設計好的FEC方案特別具有挑戰(zhàn)性。

實際上，5G NR與傳統的增強移動寬帶(eMBB)用例(包括向移動用戶提供高數據速率)一起，還將支持兩種新的用例:大型機器類型通信(mMTC)，旨在保證與大量低成本和低能耗設備的連接，以及超可靠的低延遲通信(URLLC)，處理提供與延遲和可靠性級別的連接，這些級別比eMBB和mMTC嚴格一個數量級。

在本文中，我們將介紹5G NR的FEC方案，回顧最近分別在5G新無線電（NR）eMBB傳輸中選擇用于數據和控制信道的低密度奇偶校驗（LDPC）和Polar碼系列，最后還將考慮通過多天線衰落信道進行通信的問題。

需要注意的是，本文只是對《G Physical Layer: Principles, Models and Technology Components》中的第8章做了節(jié)選和解讀，更多詳細的推導和描述，建議去看原版。

01

二進制輸入AWGN信道

什么是二進制輸入AWGN信道？

二進制AWGN信道是一種噪聲信道模型，屬于無記憶離散時間加性高斯白噪聲信道，模型數學表達式為：

其輸入符號 {xk}屬于二進制{-1，1}。 我們假設加性噪聲樣本{wk}是獨立的并且均勻分布的零均值，單位方差高斯隨機變量。 因此，可以將ρ視為信噪比（SNR）。式中的n表示可用于傳輸信息比特包的離散時間信道使用次數。

對于給定的延遲（以信道使用數量表示）和可靠性約束，我們可以通過該信道進行通信速率的基本限制。我們首先介紹上述信道的信道編碼方案的概念。

下面給出一個編碼的重要定義，該段從筆者整理的word文檔中直接截圖貼上。

其中，編碼的碼率R是編碼方案中一個重要的性能指標。下面給出二進制AWGN信道的最大編碼效率和信道容量的計算方法。

香農編碼定理的證明是基于隨機編碼的論據，它沒有提供建設性的方法來處理信道容量。確實，香農的論文從出版開始就花了50年的時間供編碼界提出實用的編碼方案演示接近容量的性能。

在《5G NR多載波波形》一文中，給大家貼出了香農劃時代的論文《A Mathematics Theory of Communication》中關于信道容量的推導公式，我們稱之為通信界天花板公式。（ps：我們下次遇到這個公式，要立刻想到祖師爺為我們定制的天花板，求突破）

編碼效率與最小錯誤概率函數圖，如下圖所示。

（A）為錯誤概率e=10^-4，ρ=0dB，碼塊n的碼率函數圖；（B）為R=0.5，n=512，Eb/N0的數據包錯誤概率函數圖

(A)中的虛線曲線是所謂的正態(tài)近似到最大碼率R*,以及（B）中的歸一化近似公式推導，如下：

圖中的非漸近邊界提供了一種歸一化的方法來測試實際編碼方案的性能，這比Eb/N0曲線的經典錯誤概率更有信息。歸一化碼率定義說明為：

對于不同碼塊長度的信道編碼方案，其歸一化編碼效率如下圖所示。

從圖中，我們得出以下結論：

• 在大塊長體制（n≥1000）中，以置信度傳播(BP)方式解碼的現代編碼（例如LDPC碼和Turbo碼）是最具競爭力的解決方案。

• 中度塊長度（400≤n≤1000），使用Polar碼和串行抵消解碼的大列表尺寸并結合外部循環(huán)冗余校驗（CRC）碼可以實現良好的性能。

• 在短塊長體制（n≤400）中，一些最有前途的解決方案涉及使用短的算術碼或基于咬尾卷積的線性碼，使用接近最大似然（ML）解碼算法（例如有序統計解碼（OSD））或高階有限域上的LDPC碼進行解碼。

實際上，LDPC碼用于保護NR eMBB數據信道，而Polar碼用于保護NR eMBB控制信道。具體應用方法，參考3GPP R15 TS 38.212 標準協議。

下面，我們將討論基于bi-WAGN信道的前向糾錯（FEC）編碼方案。

02

bi-AWGN信道的FEC方案

為大塊長度設計代碼是一個經過充分研究的問題，并且可以找到有效的解決方案。實際上，現代編碼（例如，Turbo和LDPC編碼）在次優(yōu)條件下可提供出色的性能但復雜度較低的迭代解碼算法，例如置信傳播（BP）。對于短塊長度，設計問題更加開放。一方面，當塊長減小時，BP解碼性能變得越來越不令人滿意；另一方面，減少了塊長使得使用近似最大似然解碼算法變得可行，當將其應用于例如經典算術編碼時，其產生的性能有時優(yōu)于采用BP解碼的現代編碼可以實現的性能。

下面我們重點討論LDPC碼和Polar碼，在5G NR信道編解碼中，這兩種碼使用最多。很容易知道，對于5G的高速率和大容量數據而言，碼塊長度顯然較長，碼塊數目多，上面總結了不同碼塊量級適用的編碼方案。

2.1 LDPC碼

LDPC碼(Low Density Parity Check Code,低密度奇偶校驗碼)是一種線性分組碼，其特征是一個稀疏的PCM（奇偶校驗矩陣），即它所包含的PCM只有幾個非零項。最初由Gallager在60年代提出，后來被重新發(fā)現，在20世紀90年代進行了推廣，LDPC碼為大量通信信道提供了接近容量的性能。這些編碼目前已在多個標準中部署，包括IEEE802.11n、IEEE802.16e (WiMAX)、IEEE802.11 ad (WiGig)和DVB-S2。

下面我們來了解幾個概念：

• 線性分組碼(n,k)，其中n為碼長，k為信息位，校驗位為n-k。

• 線性碼：碼字組成線性空間。

• 分組碼：校驗位只與本組信息位有關。

線性分組碼可有校驗矩陣唯一確定。校驗矩陣表示信息位于校驗位的對應關系。我們假設碼字c=（s,p），校驗矩陣H，其中，s是信息位，p是校驗位。則有以下關系：Hc^T=0。

生成矩陣G：可用于通過信息位s來生成傳輸碼字c，具體關系為：sG=c，并且有HG^T=0。

對于校驗矩陣H，其構成應滿足以下三個條件：

• 每一列有j個1(j>=3)；

• 每一行有k個1（k>=j）；

• 矩陣共有n列（即碼字長度），并且j,k遠小于n，即矩陣是稀疏的。

對于一個構建的（n,k,j）的LDPC碼：

j,k固定：規(guī)則LDPC碼

j,k不固定：非規(guī)則LDPC碼

LDPC碼通常由校驗矩陣H或者Tanner圖表示。我們假設有一個（6，3）的LDPC矩陣，其校驗矩陣H為：

其對應的Tanner圖為：

LDPC代碼的Tanner圖是一個二部圖，即，其中節(jié)點是兩種不同類型的圖，且邊僅連接不同類型的節(jié)點。這兩種類型的節(jié)點通常被稱為可變節(jié)點(variable nodes, VNs)，它與碼字長度n相等；被稱為校驗節(jié)點(check node, CN)，它與PCM中的行數m相等，即與校驗方程相等。

粗略地說，LDPC碼的譯碼是一個迭代過程，通常稱為BP，在關于編碼位的對數似然比(LLRs)是沿著Tanner圖的邊緣進行交換的。每一次譯碼迭代包括兩個階段:第一個階段，在每個VN時，對來自信道和即將到來的邊緣的LLRs進行處理，轉換為更新后的LLRs發(fā)送到鄰近的CNs;在第二個階段中，從鄰近的VNs到達每個CN的LLR被處理，更新后的LLR被發(fā)回。重復此過程，直到找到一個碼字或超過最大迭代次數為止。

LDPC碼被證實可以實際使用，其性能接近香農限C=Blog2(1+S/N)。

LDPC編碼采用下三角編碼或者準循環(huán)（QC）編碼。譯碼采用BP算法。

LDPC碼構造原則：

• 避免出現短循環(huán)

• H矩陣足夠稀疏

• 碼長足夠長

設計LDPC碼的一種方法是使用偽隨機算法來構造PCM給定度分布，避免短周期。盡管這種方法產生的LDPC代碼具有非常好的性能[30]，但從實現的角度來看是不切實際的，因為PCM中缺少進一步的結構使得編碼和解碼復雜度對于實際相關的塊長度和速率來說都太高了。

一種更實用的方法是設計由較小的原型構造的結構化LDPC碼。通過這種構造獲得的LDPC碼構成了更通用的MET-LDPC碼類別的子集。基于原型的LDPC碼的PCM可以根據小的基本矩陣來指定。實際的PCS由基本矩陣構成，方法是用Q×Q二進制矩陣替換基本矩陣中的每個條目，其行和列的權重等于基本矩陣中相應的條目。Q是所謂的提升系數。選擇行和列權重為1的Q×Q循環(huán)置換矩陣作為二進制矩陣特別方便。生成的代碼是準循環(huán)的，該屬性允許簡化的編碼和解碼，而性能損失可忽略不計。

舉個例子：H矩陣由Q×Q的小循環(huán)方陣P組成。

在5G NR中為數據信道選擇的LDPC碼是準循環(huán)的，并且具有速率兼容的結構，有助于在混合自動重傳請求（HARQ）協議中使用它們。

為了覆蓋5G NR中需要支持的大量信息有效負載和速率，指定了兩種不同的基本矩陣。這些基本矩陣的一般結構如下圖所示。

在該圖中，每個白方塊在基本矩陣中表示零，每個非白方塊表示1?；疑那皟闪袑趯嶋H上未發(fā)送的打孔系統位。已知將它們相加可以改善所得代碼的閾值，即其最小SNR工作點。藍色部分構成基本矩陣的內核，并且定義了高速率代碼。內核奇偶校驗部分的雙對角線結構使編碼有效。通過添加額外的奇偶校驗位，即通過在基本矩陣中包含適當選擇的行和列子集（包含粉紅色標記的條目），可以實現較低碼率的傳輸。為了實現最大并行度，內核外部基本矩陣的行被設計為正交或準正交。最大升力因數Qmax為384。選擇此數字是為了在并聯大的Q帶來的處理機會以及由于產生的更高數量的結構而導致的性能損失（閾值）。

針對高速率和長塊長度進行了優(yōu)化的基本矩陣＃1支持標稱速率介于1/3和8/9之間的LDPC碼。 該矩陣尺寸為46×68，具有22個系統列。 與384的提升因子一起，產生的最大信息有效載荷為k = 8448位（包括CRC）。

基本矩陣＃2已針對較短的塊長和較小的速率進行了優(yōu)化。 它能夠以1/5和2/3之間的標稱碼率進行傳輸，尺寸為42×52，并且具有10個系統列。這意味著最大信息有效載荷為k = 3840。

值得指出的是，基本矩陣＃2傾向于產生較低復雜度的解碼，并且通常應在信息有效載荷k小于3840和碼率小于2/3，而在其余參數范圍內應使用基本矩陣＃1。 兩種例外情況是k≤308的情況，所有速率均應使用基本矩陣＃2，以及R≤1/4，對于所有信息有效負載大小k，應使用基本矩陣＃2。

2.2 Ploar碼

由Ar?kan引入的極性碼是一類線性分組碼，可證明以低編解碼方式實現了無記憶對稱信道（如bi-AWGN）的容量復雜性，以及有助于其硬件實現的遞歸結構。

這里，我們簡單介紹一下Polar碼之父——Erdal Arikan教授。

Erdal Arikan，土耳其人，1958年出生，1985年獲麻省理工學院博士學位，師從Robert Gallager教授。

1982年，Erdal Arikan開始研究多址信道的時序譯碼。

2007年，Erdal Arikan發(fā)現信道極化現象及極化碼。極化碼能夠大大提高5G編碼性能，降低譯碼復雜度和接收終端功耗，迅速獲得了業(yè)界認可，被稱為“Polar碼之父”。

2016年，極化碼順利成為3GPP 5G NR控制信道編碼。

2018年7月26日，華為在深圳坂田舉行5G極化碼與基礎研究貢獻獎頒獎大會（5G Polar Code and Fundamental Research Awards），此舉是為了表彰科學家對基礎科學做出的貢獻。

2008年，Erdal Arikan發(fā)表了題為《Channel Polarization: A Method for Constructing Capacity-Achieving Codes》的論文，提出了一種信道極化方法，該方法可以構造任意二進制輸入離散無記憶信道(B-DMC)W對稱容量I(W)的碼序列。該論文如下圖所示，一共5頁。

當時這篇論文發(fā)表后，華為迅速發(fā)現了其蘊藏的極大價值，迅即大量組織人員對其進行分解剖析，并形成了眾多專利成果（貌似有100多項）。后來3GPP制定5G NR信道編碼方案時，華為主推的Polar碼最終成了控制信道編碼方案。大概這也是華為獎勵Erdal Arikan的重要原因。

華為創(chuàng)始人任正非非常重視基礎科研研究，在與Erdal Arikan教授舉行座談時，任正非表示：

我們向基礎研究這條道路努力奮勇前進，把這個問題發(fā)揚光大，我們繼續(xù)支持教授所領導的團隊的技術發(fā)展和前進，繼續(xù)合理的給予投資，因為我們覺得（這樣）我們的道路會更加寬廣，未來信息社會將會是無窮無盡的社會，我們現在才剛剛起步。

簡單地表示感謝后，Erdal Arikan說，“中國的科學家，以及中國的高校們在過去很多年做出了非常大的進步，在各個學科、各個科學領域和工程方面都取得了長足的進步，這是我親眼目睹的。一些項目，包括我自己的一些課題在這個領域，中國的大學和中國的企業(yè)，像華為都做出了很多的努力。”

此外，Erdal Arikan在現場還向任正非提了一個有意思的小問題，“如何評估中國的現狀？特別在工程科學領域最高質量的教育問題，您對現狀是否滿意？”

任正非回答稱，如今有很多人不能安靜坐下來研究學問。

“基礎領域的突破不是一天、兩天的功夫，是數十年的默默無聞，辛苦地耕耘?！比握潜硎?。

下面，我們再來看信道極化，依然用截圖顯示（所用編輯器不支持公式編輯，汗）

其中x表示二進制輸入和符號"?"表示擦除。換言之，輸入符號x被正確接收的概率(1?p)，被擦除的概率(p)?？梢宰C明，極坐標變換誘導的合成通 W^-和W⁺也是BECs，其擦除概率分別為p^-=p(2-p)>=p和p+=p²<=p。

極化變換現在可以再次應用于W^-和W⁺的輸入。這導致四個通道W^--，W^-+，W^+- 和W⁺⁺，如圖所示?？梢赃f歸地應用此過程N次，以從W的2^N個副本中合成2^N個通道。

接收機使用串行抵消解碼。就復雜度而言，極坐標變換的遞歸性質允許人們執(zhí)行編碼和解碼，其復雜度可擴展為 nlog2(n)。此外，這些操作是自然可并行化。

03

衰落信道的編碼方案

前面我們已經集中討論了通過bi-AWGN信道傳輸信息的問題。在最后一節(jié)中，我們將改為考慮更實際相關的通訊方案在多天線衰落信道上。目的是說明衰落帶來的其他設計挑戰(zhàn)。我們的重點將放在短數據包機制和URLLC用例上，我們將首先討論單輸入單輸出（SISO）情況，然后轉向多輸入多輸出（MIMO）傳輸。

3.1 SISO場景

我們假設正交頻分復用（OFDM）操作，并假設每個碼字跨越多個資源塊（RB），這些資源塊在相同的時隙中但以不同的頻率。 我們假設每個RB包含由u個子載波組成的d個OFDM符號。

我們假設信道的相干時間Tc大于傳輸持續(xù)時間，并令Lmax = B / Bc為傳輸帶寬B與相干信道帶寬Bc之間的比率。因此，Lmax對應于信道提供的頻率分集分支的最大數量。

如下圖所示，我們假設每個RB都適合一個相干間隔，即RB中包含的所有復數符號都經歷相同的衰落增益。 我們還假設在不同的頻率分支上分配了不同的RB。最后，我們假設每個碼字由L<= L_maxRB組成。

這里咱們不去詳細討論數據導頻結構，收發(fā)機模型和信道估計模型，我們考慮對于給定的固定塊長度n，應該編碼的最優(yōu)分集分支數L，以及應該在每個資源塊中分配的最優(yōu)導頻符號數。下圖描述了信息理論上界關于每bit所需的最小能量Eb / N0要求實現 e=10^-3當傳輸k = 81bit信息。塊長n = Lnc為168，考慮不同數量的多分支L (L越大，nc越小)。

編碼性能測試結果如下圖，對于瑞利衰落，數據包錯誤概率與每比特能量之比，k = 81，n = 186，L =7。信息理論界和基于咬尾卷積碼和OSD的實際編碼方案的性能。

3.2 MIMO場景

利用MIMO傳輸和接收提供的額外空間分集是實現URLLC目標的可靠性水平的關鍵。信息理論邊界可以擴展到在發(fā)射機沒有信道狀態(tài)信息的情況下，在發(fā)射機使用空頻編碼來讓可用天線提供空間分集。

在下圖中，報告了k = 30情況下不同MIMO配置的性能，與下行控制信息傳輸相關，n = 288。比較了單輸入單輸出(SISO)， 1×2和1×4 d的SIMO，以及使用Alamouti編碼[4]的2×2 MIMO的性能。

注：上圖中，縱軸為數據包錯誤概率，橫軸為信噪比（Eb/N0）

我們觀察到，在圖中考慮的信噪比范圍內，只有1×4的SIMO配置能夠實現低于10^-5 的錯誤概率，在URLLC的一個常見要求。雖然2×2 MIMO Alamouti配置提供了與1×4單輸入多輸出(SIMO)相同的空間多樣性，但它對信道估計誤差更敏感。這在圖（B）中尤為明顯，圖（B）中nc值較小在噪聲信道估計中。

總結

①我們總結了信道編碼的作用和目的：提高抗干擾能力

②了解什么是二進制輸入AWGN信道及其編碼方案

③初識5G NR信道編碼方案：LDPC碼和Polar碼

④認識了Polar之父——Erdal Arikan教授

⑤初步討論了編碼方案在衰落信道中的性能。