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[導(dǎo)讀]本文討論了 Sallen-Key 低通濾波器的設(shè)計。為了便于具體電路參數(shù)選擇,采用了比率設(shè)計方案進(jìn)行討論,大大提高了電路參數(shù)的實現(xiàn)可能性。

簡 介: 本文討論了 Sallen-Key 低通濾波器的設(shè)計。為了便于具體電路參數(shù)選擇,采用了比率 設(shè)計方案進(jìn)行討論,大大提高了電路參數(shù)的實現(xiàn)可能性。
關(guān)鍵詞 Sallen Key,低通濾波器,比率

01 Sallen-Key濾波器

一、背景介紹

近期由于需要測試所搭建的高阻抗信號源放大電路,其中包括有低通濾波器,所以研究了 Sallen-Key topology[1] 相關(guān)濾波電路電路。如下是 Kennth A. Kuhn 在 2016 給出的 Sallen-Key Low-Pass Filter[2] 設(shè)想步驟;2002年 TI 給出的 Analysis of the Sallen-Key Architecture[3] 應(yīng)用報告,給出了不同 Kallen-Key 電路理論分析。

Sallen-Key 電子濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),由于其結(jié)構(gòu)簡單,被用于二階有源濾波器電路設(shè)計,它是 VCVS(電壓控制-電壓輸出)濾波器簡化版本。VCVS 濾波器使用輸入阻抗高、輸出阻抗低的電壓放大器來實現(xiàn) 2 個極點的低通、高通、帶通濾波器。在不使用電感的情況下,可以獲得高 Q 值,通帶增益可調(diào)。多個 VCVS 濾波器可以直接級聯(lián)形成高階濾波器。Sallen-Key 濾波器則使用單位電壓增益的放大器(俗稱電壓跟隨器)設(shè)計的有源濾波器電路。

在1955年 R.P.Sallen,與 E.L.Key 利用了真空電子管陰極跟隨放大器-具有近似單位電壓增益電路設(shè)計濾波器?,F(xiàn)代電子線路中則是普通的運(yùn)算放大器進(jìn)行設(shè)計,簡單情況下,使用晶體管發(fā)射極跟隨或者源極跟隨器進(jìn)行設(shè)計。

二、電路分析

雖然 Sallen-Key 電路結(jié)構(gòu)可以形成不同特性的濾波器,由于后面實驗需要,后面僅僅對低通濾波器設(shè)計進(jìn)行討論。下圖是單位增益低通濾波器,可以實現(xiàn) s 平面上任意極點(實數(shù),或者復(fù)數(shù))位置配置。通常情況下,四個器件(R1,R2,C1,C2)取值各不相同。

▲ 圖1.2.1 Sallen-Key 單位增益低通濾波器電路

為了簡化分析,考慮在 s 域分析上述電路。利用 Kirchoff 節(jié)點電流定理,流過 R1 的電流等于流過 R2,C1的電流之和。方便起見,將 R1,R2,C1 連接節(jié)點電壓臨時設(shè)為 Vx。利用工作在放大區(qū)域的運(yùn)放“虛短”特性,可以知道運(yùn)放兩個輸入端的電壓都都與 Vo。于是有如下方程:

兩邊乘以 R1,R2消除分母,可得:

在根據(jù) Vx,Vo之間的關(guān)系是 R2,C2 的分壓關(guān)系,可以知道:

這樣可以得到:

將 (4)代入(1)經(jīng)過化簡可以得到濾波器輸入輸出之間的傳遞函數(shù)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式:

可以得到系統(tǒng)的自然諧振頻率 和阻尼系數(shù)

三、電路設(shè)計

電路設(shè)計是電路分析的逆過程,根據(jù)已知的兩個指標(biāo)(自然諧振頻率和阻尼系數(shù))設(shè)計相應(yīng)的電路參數(shù)。由于未知參數(shù)是四個,所以理論上滿足設(shè)計指標(biāo)的濾波器參數(shù)有無窮多個。在實際電路中并不是所有的電路參數(shù)都能夠很好的工作(比如電阻,電容的取值不能夠太大,或者太小等),因此我們系是要確定實際可以使用的電路參數(shù)。

1、設(shè)計中的問題

通常情況下,為了減少待定參數(shù)的個數(shù),我們先選擇任意合適的電阻 ,然后確定電容 C1,C2 的取值。這個方法看起來不錯,但實際上執(zhí)行起來往往計算出來的電容取值不是標(biāo)準(zhǔn)電容系列,這就需要通過串聯(lián)和并聯(lián)的方式來獲得合適的電容。為了避免上述問題,往往先選擇兩個電容的取值 ,在通過公式計算兩個電阻 。由于電阻系列往往具有較細(xì)的分級,所以計算出的電阻可以比較好得到滿足。

問題又來了,邏輯上 C1,C2 取相同的容值可以簡化電路設(shè)計,通過公式(7)可以看到電路的阻尼系數(shù) 將會永遠(yuǎn)大于 1.0,在一些要求阻尼系數(shù)小于 1.0 時這個隱藏的缺陷可能凸顯出來。因此需要通過完整的數(shù)學(xué)而不是直覺徹底避免這個缺陷。

在工程數(shù)學(xué)中有一句俗語:“比例是你的朋友”(Ratios are your friend)。求解比例值,若不是形成比例值的具體參數(shù)可以減少未知變量的個數(shù),從而簡化設(shè)計過程。下面給出的設(shè)計就是求解兩個比例 C1/C2,R1/R2。雖然數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程看似繁瑣到令人發(fā)指,但結(jié)果卻非常簡單。

2、公式推導(dǎo)

根據(jù)公式(7),為了方便起見,先對阻尼系數(shù)等式兩邊平方:

將上述公式展開,并整理成比例形式

重新成立成關(guān)于比值 R2/R1 的二次方程:

最后求解化簡可得:

費(fèi)盡萬難得到公式(11),可以看出,當(dāng)要求濾波器阻尼系數(shù)小于 1.0 時, 對應(yīng)的電阻比值 R2/R1 就會出現(xiàn)復(fù)數(shù)情況,這當(dāng)然在實現(xiàn)過程中出現(xiàn)困難。

3、電路設(shè)計過程

步驟1:

在文檔 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters[4] 給出了有源濾波器設(shè)計中電阻、電容選擇標(biāo)準(zhǔn)系列。首先可以根據(jù)下面公式計算出 C1,C2 的幾何平均值:

其中 Fn 是濾波器的自然頻率,單位 Hz ( ),公式計算出的電容單位是法拉。當(dāng)濾波器阻尼系數(shù) 要求小于 1 時, C1 可以選擇比幾何平均值大,C2 選擇較小的值。反之,當(dāng)阻尼系數(shù)大于 1 時, C1,C2 的大小關(guān)系反過來。

步驟2:

首先計算出 ,然后根據(jù)電容標(biāo)準(zhǔn)系列選擇合適的 C1 數(shù)值。建議選擇較小的標(biāo)準(zhǔn)電容值,這樣在后面計算  C2 和電阻值時比較容易得到實際可用的數(shù)值。選擇 C1 的數(shù)值可以在 三倍計算數(shù)值范圍內(nèi)選擇。

步驟3:

根據(jù)選擇的 C1 數(shù)值,計算出 容值上限,然后在六個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)選擇可以使用的電容數(shù)值。需要注意,如果選擇 C2 過小,可能會導(dǎo)致 R1,R2 數(shù)值過大。

步驟4:

至此,兩個電容數(shù)值 C1,C2 都已經(jīng)確定下來,并且是可以使用的實際電容。然后利用公式(11)計算出 R1,R2 的比值。然后在根據(jù)公式(7)的前半部分,計算出R1,R2的乘積:

步驟5:

至此,可以根據(jù) 兩個數(shù)值分別計算出 各自的取值。

首先計算出 R1:

根據(jù)上面計算數(shù)值,選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值;然后再計算出 R2 的數(shù)值,選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值。

步驟6:

當(dāng)設(shè)計完成之后,代入公式核算濾波器的參數(shù)(自然頻率和阻尼系數(shù))是否滿足。之后再查看選擇的 電容、電阻是否合理,避免過小的電容,過大的電阻,這樣都可能會因為運(yùn)放的偏置電流以及集成電容使得濾波器性能產(chǎn)生較大的偏差。

四、設(shè)計舉例

下面設(shè)計一個 Sallen-Key 低通濾波器,選擇自然頻率為 1kHz, 濾波器的品質(zhì)因素 Q=2。下面給出具體的求解過程。

根據(jù) ,可以得到

  • 計算兩個電容的幾何平均數(shù), ;
  • 計算C1: ,選擇 ;
  • 計算C2的上限: ,選擇
  • ,根據(jù)(11)計算出 ;
  • 根據(jù)公式(13)計算出 $R_1 R_2  = 1.13 \times 108 \Omega 2$ ;
  • 計算出 ,選擇 R1=6.2k;
  • 計算出 ,選擇  R2=18k。

根據(jù)公式(7)校驗濾波器參數(shù) 。

五、增益變化

當(dāng)運(yùn)放的增益不再是標(biāo)準(zhǔn)的單位增益,會對濾波器產(chǎn)生什么變化嗎?比如下面是通帶增益大于 1 的低通濾波器。增益由 R4,R3的比值決定。

▲ 圖1.5.1 通帶增益大于1的Sallen-Key低通濾波器

根據(jù)同樣的分析,可以得到濾波器的傳遞函數(shù)為:

相應(yīng)的濾波器參數(shù)為:

可以看到隨著運(yùn)放增益提高, 濾波器的自然頻率增加,阻尼系數(shù)降低。如果將電容 C2 的數(shù)值

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