為了簡化分析，考慮在 s 域分析上述電路。利用 Kirchoff 節(jié)點電流定理，流過 R1 的電流等于流過 R2，C1的電流之和。方便起見，將 R1，R2，C1 連接節(jié)點電壓臨時設(shè)為 Vx。利用工作在放大區(qū)域的運(yùn)放“虛短”特性，可以知道運(yùn)放兩個輸入端的電壓都都與 Vo。于是有如下方程：

兩邊乘以 R1,R2消除分母，可得：

在根據(jù) Vx，Vo之間的關(guān)系是 R2，C2 的分壓關(guān)系，可以知道：

這樣可以得到：

將 （4）代入（1）經(jīng)過化簡可以得到濾波器輸入輸出之間的傳遞函數(shù)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式：

可以得到系統(tǒng)的自然諧振頻率 和阻尼系數(shù) ：

三、電路設(shè)計

電路設(shè)計是電路分析的逆過程，根據(jù)已知的兩個指標(biāo)（自然諧振頻率和阻尼系數(shù)）設(shè)計相應(yīng)的電路參數(shù)。由于未知參數(shù)是四個，所以理論上滿足設(shè)計指標(biāo)的濾波器參數(shù)有無窮多個。在實際電路中并不是所有的電路參數(shù)都能夠很好的工作（比如電阻，電容的取值不能夠太大，或者太小等），因此我們系是要確定實際可以使用的電路參數(shù)。

1、設(shè)計中的問題

通常情況下，為了減少待定參數(shù)的個數(shù)，我們先選擇任意合適的電阻 ，然后確定電容 C1，C2 的取值。這個方法看起來不錯，但實際上執(zhí)行起來往往計算出來的電容取值不是標(biāo)準(zhǔn)電容系列，這就需要通過串聯(lián)和并聯(lián)的方式來獲得合適的電容。為了避免上述問題，往往先選擇兩個電容的取值 ，在通過公式計算兩個電阻 。由于電阻系列往往具有較細(xì)的分級，所以計算出的電阻可以比較好得到滿足。

問題又來了，邏輯上 C1，C2 取相同的容值可以簡化電路設(shè)計，通過公式（7）可以看到電路的阻尼系數(shù) 將會永遠(yuǎn)大于 1.0，在一些要求阻尼系數(shù)小于 1.0 時這個隱藏的缺陷可能凸顯出來。因此需要通過完整的數(shù)學(xué)而不是直覺徹底避免這個缺陷。

在工程數(shù)學(xué)中有一句俗語：“比例是你的朋友”（Ratios are your friend）。求解比例值，若不是形成比例值的具體參數(shù)可以減少未知變量的個數(shù)，從而簡化設(shè)計過程。下面給出的設(shè)計就是求解兩個比例 C1/C2，R1/R2。雖然數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程看似繁瑣到令人發(fā)指，但結(jié)果卻非常簡單。

2、公式推導(dǎo)

根據(jù)公式（7），為了方便起見，先對阻尼系數(shù)等式兩邊平方：

將上述公式展開，并整理成比例形式

重新成立成關(guān)于比值 R2/R1 的二次方程：

最后求解化簡可得：

費(fèi)盡萬難得到公式（11），可以看出，當(dāng)要求濾波器阻尼系數(shù)小于 1.0 時， 對應(yīng)的電阻比值 R2/R1 就會出現(xiàn)復(fù)數(shù)情況，這當(dāng)然在實現(xiàn)過程中出現(xiàn)困難。

3、電路設(shè)計過程

□ 步驟1：

在文檔 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters^[4] 給出了有源濾波器設(shè)計中電阻、電容選擇標(biāo)準(zhǔn)系列。首先可以根據(jù)下面公式計算出 C1，C2 的幾何平均值：

其中 Fn 是濾波器的自然頻率，單位 Hz （ ），公式計算出的電容單位是法拉。當(dāng)濾波器阻尼系數(shù) 要求小于 1 時， C1 可以選擇比幾何平均值大，C2 選擇較小的值。反之，當(dāng)阻尼系數(shù)大于 1 時， C1，C2 的大小關(guān)系反過來。

□ 步驟2：

首先計算出 ，然后根據(jù)電容標(biāo)準(zhǔn)系列選擇合適的 C1 數(shù)值。建議選擇較小的標(biāo)準(zhǔn)電容值，這樣在后面計算  C2 和電阻值時比較容易得到實際可用的數(shù)值。選擇 C1 的數(shù)值可以在 三倍計算數(shù)值范圍內(nèi)選擇。

□ 步驟3：

根據(jù)選擇的 C1 數(shù)值，計算出 容值上限，然后在六個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)選擇可以使用的電容數(shù)值。需要注意，如果選擇 C2 過小，可能會導(dǎo)致 R1，R2 數(shù)值過大。

□ 步驟4：

至此，兩個電容數(shù)值 C1，C2 都已經(jīng)確定下來，并且是可以使用的實際電容。然后利用公式（11）計算出 R1，R2 的比值。然后在根據(jù)公式（7）的前半部分，計算出R1，R2的乘積：

□ 步驟5：

至此，可以根據(jù) 兩個數(shù)值分別計算出 各自的取值。

首先計算出 R1：

根據(jù)上面計算數(shù)值，選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值；然后再計算出 R2 的數(shù)值，選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值。

□ 步驟6：

當(dāng)設(shè)計完成之后，代入公式核算濾波器的參數(shù)（自然頻率和阻尼系數(shù)）是否滿足。之后再查看選擇的 電容、電阻是否合理，避免過小的電容，過大的電阻，這樣都可能會因為運(yùn)放的偏置電流以及集成電容使得濾波器性能產(chǎn)生較大的偏差。

四、設(shè)計舉例

下面設(shè)計一個 Sallen-Key 低通濾波器，選擇自然頻率為 1kHz， 濾波器的品質(zhì)因素 Q=2。下面給出具體的求解過程。

根據(jù) ，可以得到 。

• 計算兩個電容的幾何平均數(shù)， ；
• 計算C1： ，選擇 ；
• 計算C2的上限： ，選擇 ；
• ，根據(jù)（11）計算出 ；
• 根據(jù)公式（13）計算出 $R_1 R_2  = 1.13 \times 10^{8 \Omega} 2$ ；
• 計算出 ，選擇 R1=6.2k；
• 計算出 ，選擇  R2=18k。

根據(jù)公式（7）校驗濾波器參數(shù) ， 。

五、增益變化

當(dāng)運(yùn)放的增益不再是標(biāo)準(zhǔn)的單位增益，會對濾波器產(chǎn)生什么變化嗎？比如下面是通帶增益大于 1 的低通濾波器。增益由 R4,R3的比值決定。

根據(jù)同樣的分析，可以得到濾波器的傳遞函數(shù)為：

相應(yīng)的濾波器參數(shù)為：

可以看到隨著運(yùn)放增益提高， 濾波器的自然頻率增加，阻尼系數(shù)降低。如果將電容 C2 的數(shù)值