由于RS碼是對(duì)多進(jìn)制符號(hào)糾錯(cuò)，RS碼可用于糾正突發(fā)錯(cuò)誤，比如能糾兩個(gè)八進(jìn)制符號(hào)錯(cuò)誤的RS(7，3)碼，每個(gè)符號(hào)可用3 bit二進(jìn)制符號(hào)表示。八進(jìn)制的RS(7，3)碼相當(dāng)于二進(jìn)制的(21，9)碼，因此糾兩個(gè)符號(hào)就相當(dāng)于糾連續(xù)6 bit二進(jìn)制符號(hào)的突發(fā)錯(cuò)誤，然而二進(jìn)制的(2l，9)碼卻沒(méi)有糾6 bit突發(fā)錯(cuò)誤的能力，它能糾任何2個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤以及長(zhǎng)度≤4的突發(fā)錯(cuò)誤。
    通用的RS編碼的運(yùn)算步驟：
    (1)確定RS編碼器的生成多項(xiàng)式g(x)，這里選用了最為常用的生成多項(xiàng)式，如式(1)所示。

   
    式中a定義為m階初等多項(xiàng)式p(x)的根它可生成全部GF域的元素。(有關(guān)GF域的內(nèi)容可參閱相關(guān)書籍)。
    以RS(15，9)為例，RS(15，9)的生成多項(xiàng)式，如式(2)

   
    (2)通過(guò)對(duì)取模運(yùn)算產(chǎn)生校驗(yàn)信息多項(xiàng)式p(x)如式(3)

   
    式中m(x)表示RS編碼碼字中的數(shù)據(jù)信息，它是K一1階的線性多項(xiàng)式。
    (3)通過(guò)加法運(yùn)算生成最終的編碼后的多項(xiàng)式c(x)如式(4)

   
    RS碼的編碼主要是圍繞碼的生成多項(xiàng)式g(x)進(jìn)行的，一旦生成多項(xiàng)式確定了，則碼就完全確定了。

2 RS編碼的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)
    在一些特定應(yīng)用域中，RS碼的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)是比較困難的。RS碼是在有限域上進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算，不同于常用的二進(jìn)制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)相對(duì)復(fù)雜一些，其復(fù)雜度主要決定于有限域的大小、碼字的長(zhǎng)度、采用的編碼算法等，編碼器的實(shí)現(xiàn)方式主要有以下幾種：
    (1)微處理器實(shí)現(xiàn)的RS編碼。
    通用的微處理器采用查表(Table—lookup)方法可以實(shí)現(xiàn)RS編碼，首先需要產(chǎn)生有限域運(yùn)算中的系數(shù)，存于內(nèi)存中，就可以通過(guò)查表的方法實(shí)現(xiàn)編碼了。
    (2)利用DSP實(shí)現(xiàn)的RS編碼。
    DSP早已成為傳統(tǒng)微處理器的一種替代品，現(xiàn)在的DSP芯片已能對(duì)一些特定的應(yīng)用提供并行的處理結(jié)構(gòu)，可以在DSP芯片中完成RS編碼，不過(guò)DSP不是專為實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)中需要的特定功能設(shè)計(jì)的，同樣也可以采用查表的方法在DSP中實(shí)現(xiàn)快速有限域運(yùn)算。
    (3)ASIC實(shí)現(xiàn)的RS編碼。
    ASIC是專用集成電路，由LSI—Logic Corpera—tion設(shè)計(jì)的ASIC芯片，有3 kB的RAM和4 kB的ROM，是實(shí)現(xiàn)高速編碼器的最佳選擇。
    (4)FPGA實(shí)現(xiàn)的RS編碼。
    FPGA能夠快速和經(jīng)濟(jì)地將電路描述轉(zhuǎn)化為硬件實(shí)現(xiàn)，而且對(duì)設(shè)計(jì)的修訂也比較方便。而通常的ASIC需要的設(shè)計(jì)時(shí)間較長(zhǎng)，制作費(fèi)用也較高，也不便于調(diào)整。所以本設(shè)計(jì)是基于FPGA的RS編碼設(shè)計(jì)。
    如圖1所示為本設(shè)計(jì)所采用的編碼器的結(jié)構(gòu)。

    其工作原理如下：
    (1)寄存器R0~R2t-1全部清零。開關(guān)接通A點(diǎn)，然后信息位分為兩路送電路中，一路直接送入C(x)，一路送入除法電路并進(jìn)行移位。每一個(gè)時(shí)鐘移一個(gè)字節(jié)；
    (2)在k個(gè)時(shí)鐘結(jié)束的時(shí)候，信息位全部輸入，完成除法功能。此時(shí)移位寄存器里保留了余式r(x)的系數(shù)，這就是RS碼的校驗(yàn)位；
    (3)在k+1個(gè)時(shí)鐘到來(lái)的時(shí)候，開關(guān)接通B點(diǎn)。寄存器中的數(shù)據(jù)依次移出，送入信道。在經(jīng)過(guò)2t個(gè)時(shí)鐘后數(shù)據(jù)全部移出，得到2t個(gè)校驗(yàn)位。這2t個(gè)校驗(yàn)位跟在原先的尼個(gè)信息位的后面，組成(n，k)碼輸出。這樣就完成了RS碼的編碼；
    (4)寄存器R0～R2t-1全部清零，重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，完成對(duì)下一組RS碼的編碼。

3 RS編碼乘法器的Verilog語(yǔ)言描述
    下面以RS(15，9)為例描述有限域的乘法實(shí)現(xiàn)思路如下：

    根據(jù)上面的式子可以寫出RS(15，9)的6個(gè)乘法器。如：與g0相乘的結(jié)果

    其余乘法器的描述方法與此類似。完成對(duì)乘法域的語(yǔ)言描述，剩下的工作就是對(duì)加法器的描述了，由于加法實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單，這里就不做介紹了。接下來(lái)就是控制輸出信息位還是校驗(yàn)位的開關(guān)都是比較好設(shè)計(jì)的。

4 RS編碼器的仿真
    本設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)了RS(15，9)的編碼，本設(shè)計(jì)編碼器的模塊框圖，如圖2所示。

    各信號(hào)說(shuō)明如下：
    本設(shè)計(jì)信號(hào)時(shí)鐘clk周期是40 ns，clrn是復(fù)位號(hào)，data表示信息輸入有效，enable表示啟動(dòng)編碼器，開始編碼，x是4 bit信息符號(hào)，y是編碼生成的4 bit碼字。由下圖編碼圖形可知，一次編碼周期需要590．0 ns，最大編碼速率為l700 MHz。因此，一次編碼需要15個(gè)時(shí)鐘周期。在25 MHz的時(shí)鐘下，RS編碼器仿真時(shí)序圖，如圖3和圖4所示，并由仿真圖可看出，本算法的編碼速度高時(shí)延間隔不到半個(gè)周期。

    RS編碼測(cè)試數(shù)據(jù)如下：
    輸入信息：0，1，2，3，4，5，6，7，8；
    編碼器輸出：0，1，2，3，4，5，6，7，8，B，C，0，5，7。

5 結(jié)束語(yǔ)
    RS編碼的所有運(yùn)算都是建立在有限域的基礎(chǔ)上的，其中乘法器的設(shè)計(jì)是其編碼技術(shù)的關(guān)鍵。本設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了RS(15，9)的編碼設(shè)計(jì)和仿真，仿真輸出結(jié)果與理論分析一致，基于相同的原理，可以實(shí)現(xiàn)任意數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度的RS編碼器設(shè)計(jì)。