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[導(dǎo)讀]濾波是信號(hào)處理的基礎(chǔ),濾波運(yùn)算是信號(hào)處理中的基本運(yùn)算,濾波器的設(shè)計(jì)也就相應(yīng)成為數(shù)字信號(hào)處理的最基本問題之一。這里著重IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)研究,應(yīng)用Butterworth濾波器,Chebysheve I型濾波器,ChebysheveⅡ型濾波器以及橢圓濾波器分別對(duì)低通、高通、帶通和帶阻四種濾波器形式進(jìn)行比較仿真,通過不同設(shè)計(jì)方法的對(duì)比,將各種濾波器的設(shè)計(jì)特點(diǎn)很好地呈現(xiàn)出來(lái)。應(yīng)用了Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)了混合信號(hào)頻譜的分離,取得了良好的仿真效果。

0 引言
    數(shù)字濾波器(Digital Filter)是指輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào),通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中起著非常重要的作用,在信號(hào)的過濾、檢測(cè)與參數(shù)的估計(jì)等方面,是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。
    實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法有兩種,一是采用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行,就是把所要完成的工作通過程序讓計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn);二是設(shè)計(jì)專用的數(shù)字處理硬件。這個(gè)地方主要用到的就是第一種方法。即是用Mafiab提供的信號(hào)處理工具箱來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。
    Matlab信號(hào)處理工具箱提供了豐富的設(shè)計(jì)方法,可以使得繁瑣的程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化成函數(shù)的調(diào)用,只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用函數(shù),就可以正確快捷地得到設(shè)計(jì)結(jié)果。

1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法比較
1.1 概述

    IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法,有完整的設(shè)計(jì)公式,還有比較完整的圖表可以查詢,因此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來(lái)進(jìn)行。
    對(duì)于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)具體步驟如下:
    (1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。
    (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。
    (3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的,上述的過程可以結(jié)束,若設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者是帶阻濾波器,那么還需要下面的步驟:
    將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo),然后設(shè)計(jì)出低通G(s),再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。
    Matlab信號(hào)工具箱提供了幾個(gè)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的函數(shù),直接調(diào)用這些函數(shù)就可以很方便地對(duì)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫Ⅱ、橢圓法四種方法進(jìn)行比較。給出用上述方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的函數(shù)如下:
      
    其中:Wp表示通帶截止頻率;Ws表示阻帶截止頻率;Rp表示通帶紋波系數(shù);Rs表示阻帶紋波系數(shù);N表示濾波器最小階數(shù);Wn表示截止頻率。b,a分別表示階次為N+1的數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量;Fs為采樣頻率;n為在區(qū)間[O Fs]頻率范圍內(nèi)選取的頻率點(diǎn)數(shù);f記錄頻率點(diǎn)數(shù)。n取2的冪次方,可以提高運(yùn)算的速度,因?yàn)閒reqz函數(shù)采用基2的FFT算法。ftype=high時(shí),為高通濾波器;ftype=bandpass時(shí),為帶通濾波器;ftype=stop時(shí),為帶阻濾波器。
   
1.2 四種設(shè)計(jì)方法比較
    (1)在低通濾波器中的比較
    假如:Wp=20 Hz,Ws=50 Hz,F(xiàn)s=200,Rp=1 dB,Rs=30 dB,分別用Butterworth低通濾波器、Chebyshev I型低通濾波器、ChebyshevⅡ型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì),如圖1所示。


    (2)在高通濾波器中的比較
    假如:Wp=50 Hz,Ws=20 Hz,F(xiàn)s=200,Rp=1 dB,Rs=30 dB,分別用Butterworth高通濾波器、Chebyshev I型高通濾波器、ChebyshevⅡ型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì),如圖2所示。


    (3)在帶通濾波器中的比較
    假如:Wp=[100,200],Ws=[50,250],Rp=3 dB,Rs=30 dB,F(xiàn)s=1 000,分別用Butterworth帶通濾波器、Chebyshev I型帶通濾波器、ChebyshevⅡ型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì),如圖3所示。


    (4)在帶阻濾波器中比較
    假如:Wp=[100,200],Ws=[50,250],Rp=3 dB,Rs=30 dB,F(xiàn)s=1 000,分別用Butterworth帶阻濾波器、Chebyshev I型帶阻濾波器、ChebyshevⅡ型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì),如圖4所示。


1.3 比較結(jié)果分析
    通過對(duì)各種類型的濾波器通過不同的方法進(jìn)行設(shè)計(jì),可以使一些結(jié)論得到驗(yàn)證。利用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Che-bysheveⅡ型濾波器、橢圓濾波器都可以進(jìn)行低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì),但是各有特點(diǎn)。Butterworth濾波器通帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線能得到最大限度的平滑,但犧牲了截止頻率的坡度。
    Chebysheve I型濾波器通帶內(nèi)等波紋,阻帶內(nèi)單調(diào);ChebysheveⅡ型濾波器通帶內(nèi)單調(diào),然而阻帶內(nèi)等波紋;橢圓濾波器阻帶和通帶內(nèi)都是等波紋的,但下降的坡度更大,而且可以以更低的階數(shù)實(shí)現(xiàn)和其他兩類濾波器一樣的性能指標(biāo)。

2 IIR數(shù)字濾波器應(yīng)用
    假定信號(hào)的采樣頻率是600 Hz,輸入信號(hào)的頻率為100 Hz,180 Hz和250 Hz的合成正弦波信號(hào)f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(500πt),通過截止頻率是120 Hz的巴特沃斯低通濾波器,通過濾波前后頻譜的對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)通過濾波器后,兩個(gè)高頻的信號(hào)180 Hz和250 Hz的正弦信號(hào)被濾掉,達(dá)到了濾波的效果。
    圖5和圖6給出了巴特沃斯低通濾波器濾波前后的頻譜圖。


    依然是上述的條件,如果想保留高頻的信號(hào)250 Hz的正弦信號(hào),可以通過巴特沃斯高通濾波器,此高通濾波器截止頻率為220 Hz,濾波以后的頻譜如圖7所示,兩個(gè)低頻的信號(hào)100 Hz,180 Hz的正弦波信號(hào)被濾掉;當(dāng)預(yù)保留100 Hz,250 Hz兩個(gè)信號(hào)后可以通過帶阻濾波器濾掉180 Hz的正弦信號(hào),如圖8所示;同理如果僅僅保留180 Hz的正弦信號(hào)可以通過帶通濾波器,而濾掉其他兩個(gè)信號(hào),如圖9所示。

3 結(jié)語(yǔ)
    濾波是信號(hào)處理的基礎(chǔ),濾波運(yùn)算是信號(hào)處理中的基本運(yùn)算,濾波器的設(shè)計(jì)也就相應(yīng)成為數(shù)字信號(hào)處理的最基本問題之一。信號(hào)帶有噪聲或無(wú)用信號(hào),濾波器的作用是將這些干擾成分濾除,也就是讓特定頻段的信號(hào)通過達(dá)到對(duì)信號(hào)篩選的效果。在經(jīng)典的濾波器中,通過對(duì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)研究,應(yīng)用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Chebysheve II型濾波器以及橢圓濾波器四種形式分別對(duì)低通、高通、帶通和帶阻四種濾波器形式進(jìn)行比較仿真,得到其不同的仿真特性;選擇三個(gè)不同頻率100 Hz,180Hz和250 Hz的合成正弦波信號(hào):
    f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(5007πt)
    進(jìn)行疊加,應(yīng)用了Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)了混合信號(hào)頻譜的分離,得到了良好的仿真效果。

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